مقاله آموزشی شماره ۱۰: مدل‌سازی آشفتگی

واژه‌های کلیدی

دینامیک سیالات محاسباتی یا CFD، آشفتگی، Eddy، شبیه‌سازی، مدل‌سازی، متوسط‌گیری زمانی

شناخت جریان آشفته

رهیافت‌های برخورد با آشفتگی

رهیافت DNS

رهیافت LES

رهیافت VLES

رهیافت RANS

تاریخچه رهیافت RANS

جمع‌بندی و نتیجه‌گیری

منابع و مراجع

هم‌زمان با گسترش استفاده از دینامیک سیالات محاسباتی در صنعت، بحث برخورد با آشفتگی جریان نیز مورد بررسی قرار گرفته است. اهمیت بررسی این موضوع زمانی آشکار می­شود که به این نکته توجه شود که خیلی از مسائل کاربردی ماهیت آشفته دارند. به‌عنوان مثال جریان در لوله، جریان حول ایرفویل، احتراق و جریان در پاشنده رنگ اکثرا آشفته هستند. بنابراین شناخت مفهوم آشفتگی و برخورد درست با آن می­تواند در طراحی نهایی وسیله تاثیر زیادی داشته باشد [۱].

شناخت جریان آشفته

این‌که چه هنگام جریان آشفته است، جواب دقیقی ندارد. معمولا عدد رینولدز جریان را محاسبه و آن را با عدد رینولدز بحرانی مسئله مقایسه می‌کنند. عدد رینولدز بحرانی عدد رینولدزی است که در آن گذر جریان از آرام به آشفته اتفاق می‌افتد. در صورت بزرگ‌تر بودن عدد رینولدز جریان از عدد رینولدز بحرانی جریان را آشفته فرض می‌کنند. اگرچه این روش مرسوم است، ولی اشکالاتی دارد. از جمله این‌که عدد رینولدز بحرانی در بسیاری از مسائل مشخص نیست و تنها می‌توان به عدد رینولدز بحرانی مسائل مشابه تکیه کرد. از طرفی این‌که هر جریان با عدد رینولدز بالا را آشفته بدانیم، دقیق نیست. در حقیقت جریان آشفتگی یک سری خواص ذاتی دارد که تنها یکی از آن‌ها عدد رینولدز بالا است. با استفاده از شکل زیر به‌صورت تقریبی می‌توان در مورد آرام یا آشفته بودن جریان قضاوت کرد:

معیار تقریبی تشخیص آرام یا آشفته بودن جریان [۲]

بنابراین می‌توان به‌صورت کلی گفت که گذر جریان از آرام به آشفته در اعداد رینولدز بین ۲۰۰۰ و ۱e۶ اتفاق می‌افتد. عدد دقیق رینولدز بحرانی بستگی به ماهیت جریان و مسئله دارد [۲].

تنها در صورتی می‌توان یک جریان را آشفته دانست که تمام ویژگی‌های زیر در آن جریان حاضر باشند:

∎ تصادفی یا بی‌قاعده بودن (Randomness or Irregular Nature): به دلیل این ویژگی است که رهیافتی قطعی برای برخورد با آشفتگی وجود ندارد و تنها می‌توان به روش‌های شرطی یا آماری اعتماد کرد.

ذات تصادفی آشفتگی

∎ Large Diffusive Nature: این خاصیت آشفتگی باعث اختلاط (Mixing) سریع و نرخ انتقال بالای جرم، مومنتم و انرژی می‌شود. در حقیقت در جریان آشفته نرخ انتقال و اختلاط چند مرتبه بزرگ‌تر از دیفیوژن مولکولی است.

∎ جریان آشفته همیشه در اعداد رینولدز بالا اتفاق می‌افتد.

جت آشفته در عدد رینولدز بالا

∎ آشفتگی یک پدیده پیوسته (Continuum) است و حتی کوچک‌ترین مقیاس‌های حرکتی که در جریان آشفته اتفاق می‌افتد، بزرگ‌تر از هر مقیاس طولی مولکولی است.

نمایش حرکت آزاد مولکولی

∎ آشفتگی چرخشی و سه‌بعدی است و در آن نوسانات بزرگ Vorticity وجود دارد.

وجود کشیدگی گردابه (Vortex Stretching) در جریان آشفته نشان می‌دهد جریان آشفته نمی‌تواند دوبعدی باشد

∎ تمام جریان‌های آشفته Dissipative هستند.

خاصیت Dissipative بودن جریان آشفته

∎ جریان آشفته ذاتا ناپایا (Unsteady) است.

در شکل‌های زیر تبدیل جریان آرام به آشفته روی یک صفحه تخت نشان داده شده است. عدد رینولدز بحرانی در این حالت تقریبا ۵۰۰ هزار است.

تبدیل جریان آرام به جریان آشفته روی صفحه تخت [۲]

مراحلی از تبدیل جریان آرام به جریان آشفته روی صفحه تخت [۲]

تبدیل جریان آرام به جریان آشفته روی صفحه تخت از نمای بالا و جانبی [۲]

نمایی نزدیک از لایه مرزی آشفته [۲]

نمونه‌هایی دیگر از تبدیل جریان آرام به آشفته در شکل‌های زیر نشان داده شده است.

تبدیل جریان آرام به آشفته در داخل یک کانال، عدد رینولدز بحرانی در این جریان حدود ۲۲۰۰ است [۲]

تبدیل جریان آرام به آشفته در جریان جت [۲]

ساختارهای بزرگ و کوچک در جت آشفته [۲]

تبدیل جریان آرام به آشفته حول استوانه [۲]

رهیافت‌های برخورد با آشفتگی

از فیزیک جریان آشفته می­‌دانیم که در جریان آشفته توسعه­‌یافته جزیره‌هایی به نام ادی (Eddy) با اندازه‌های مختلف وجود دارد. بر اساس اندازه، ادی­‌ها به کوچک، بزرگ و خیلی بزرگ تقسیم می­‌شوند. اندازه کوچک‌ترین ادی‌ها در حد مقیاس کولموگروف (Kolmogorov Length Scale) است و اندازه ادی‌های بزرگ و خیلی بزرگ می‌تواند در حد طول مشخصه جسم باشد. رهیافت­‌های مختلف عددی برخورد با آشفتگی، بر اساس نحوه رفتار با این ادی‌­ها به وجود می‌­آیند. این رهیافت­‌ها عبارت‌اند از:

• DNS (Direct Numerical Simulation)
• LES (Large Eddy Simulation)
• VLES (Very Large Eddy Simulation)
• RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes)
• Hybrid

رهیافت DNS

اولین ایده­‌ای که برای مدل­‌سازی عددی ادی­‌ها به ذهن می­‌رسد این است که شبکه­ محاسباتی را آن­‌قدر ریز کنیم که معادلات گسسته­‌شده مستقیما تمام این ادی­‌ها را شبیه­‌سازی کنند. این رهیافت به DNS معروف است. باید توجه داشته باشیم که در صورت استفاده از یک شبکه مناسب که قادر به گرفتن کوچک­‌ترین جزئیات جریان باشد، معادلات کامل ناویر-استوکس قادرند هر جریانی را و از جمله جریان آشفته را مدل کنند. بررسی‌­ها نشان داده‌­اند که در عمل این رهیافت فقط برای مسائل ساده با عدد رینولدز پایین قابل استفاده است، زیرا تعداد گره‌­های شبکه برای تجزیه مکانی میدان حل با استفاده از این رهیافت متناسب با Re^9/4 و زمان پردازش‌گر (CPU-time) متناسب با Re³ است [۳].این زمان بسیار زیاد و شبکه مورد نیاز بسیار بزرگ است و تنها با کامپیوترهای خاص قابل شبیه‌سازی است. در نتیجه اگرچه رهیافت DNS دقت بسیار بالایی دارد، ولی هزینه محاسباتی آن بسیار زیاد است.

رهیافت LES

در LES برای حل مشکل DNS شبکه آن­‌قدر ریز می­‌شود که فقط ادی­‌های با اندازه بزرگ و خیلی بزرگ مستقیما شبیه‌سازی شوند. بنابراین در این رهیافت می­‌توان از شبکه درشت­‌تری نسبت به رهیافت DNS استفاده کرد. برای مدل‌سازی ادی­­‌های کوچک در این رهیافت از مدل­‌های زیرشبکه‌ای (Subgrid Scale Models) استفاده می­‌شود. باید توجه داشت که در عمل این رهیافت هم به خاطر این­که به‌طور ذاتی سه‌­بعدی و ناپایا است، نیازمند هزینه و زمان محاسباتی زیادی است. البته در سالیان اخیر با پیشرفت قدرت سخت‌افزاری کامپیوترها، استفاده از این رهیافت بیش‌تر شده است.

رهیافت VLES

در VLES فقط ادی­‌های خیلی بزرگ مستقیما شبیه‌سازی می­‌شوند و بنابراین باز هم می‌­توان از شبکه درشت­‌تری استفاده کرد و ادی­‌های ریز و بزرگ هم با استفاده از مدل­‌های زیرشبکه‌ای مدل‌سازی می­‌شوند. بنابراین از این رهیافت می­‌توان در مسائل صنعتی بیش­تری استفاده کرد، ولی باز هم به نسبت نیازمند یک شبکه ریز خواهد بود. مشاهده می‌شود هرچقدر وزن شبیه‌سازی (Simulation) در رهیافت بیش‌تر باشد، وزن مدل‌سازی (Modeling) کم‌تر، دقت بیش‌تر و زمان و هزینه محاسباتی هم بیش‌تر می‌شود.

رهیافت RANS

در RANS با استفاده از میانگین­‌گیری زمانی از معادلات حاکم، تمام ادی­‌ها مدل­‌سازی می­‌شوند. در رهیافت ترکیبی از مجموعه­‌ای از رهیافت­‌های ذکرشده استفاده می‌­کنند. در مسائل صنعتی به خاطر صرفه‌جویی در زمان و هزینه بیش­تر از رهیافت RANS استفاده می­‌شود.

مقایسه رهیافت‌های مختلف [۲]

رهیافت RANS که در سال ۱۸۹۵ توسط رینولدز ارائه شد، بر پایه تجزیه متغیرهای جریان به دو قسمت متوسط (Mean Part) و نوسانی (Fluctuating Part) و سپس میانگین­‌گیری از معادلات حاکم است.

نمودار مقادیر متوسط و نوسانی یک کمیت دلخواه جریانی [۳]

در مواردی که چگالی ثابت نیست، بهتر است که برای مؤلفه‌های سرعت از تجزیه فاور (Favre Decomposition) که تجزیه با در نظر گرفتن تغییرات چگالی است، استفاده شود. با استفاده از تجزیه فاور معادلات حاکم میانگین­‌گیری‌شده، به خاطر جملات شامل نوسانات چگالی پیچیده می­‌شوند. بنابراین می‌توان از فرض مورکوین (Morkovin’s Hypothesis) استفاده کرد. طبق این فرض ساختار آشفته لایه‌های مرزی و دنباله­‌ها (Wakes) برای اعداد ماخ زیر ۵ چندان تحت تاثیر نوسانات چگالی قرار نمی­‌گیرد و در نتیجه می‌­توان میانگین­‌گیری را با فرض ثابت بودن چگالی انجام داد [۳].

با قرار دادن متغیرهای تجزیه‌شده در معادلات ناویر-استوکس و میانگین­‌گیری از این معادلات، معادلات مشابهی برای کمیت‌­های متوسط به دست می‌­آید که دو تغییر نیز در آن­ها روی داده است. یکی ظهور مجهول جدیدی به نام تنش‌­های رینولدز است:

که در آن “u_m و “u_n قسمت‌­های نوسانی مؤلفه‌های سرعت بر اساس متوسط­‌گیری فاور و علامت­‌های ˉ و ˜ به ترتیب مربوط به میانگین­‌گیری بر اساس چگالی ثابت و بر اساس چگالی متغیر هستند. تانسور تنش­‌های رینولدز انتقال مومنتم متوسط به خاطر نوسانات آشفتگی را نشان می­‌دهد. تغییر دیگر ظهور مجهول جدیدی به نام شار حرارتی آشفتگی است:

بنابراین مشخص است که حل معادلات RANS نیازمند مدل کردن تنش‌­های رینولدز و شار حرارتی آشفتگی است و بدون این مدل­‌سازی تعداد مجهولات از معادلات بیش­تر بوده و معادلات بسته نمی‌­شوند. تا به حال مدل­‌های آشفتگی زیادی برای بستن معادلات RANS پیشنهاد شده است. این مدل­‌ها را می­‌توان به دو دسته بستن درجه یک (First-order Closure) و بستن درجه دو تقسیم کرد.

مدل‌­های دسته­ بستن درجه دو پیچیده‌­تر و البته انعطاف­‌پذیرتر هستند. مدل RST (Reynolds Stress Transport) که ابتدا توسط روتا (Rotta) در سال ۱۹۵۱ پیشنهاد شده است، معادلات انتقال تانسور تنش رینولدز را حل می­‌کند. در این مدل معادلات دیفرانسیل جزئی برای شش تنش رینولدز باید به کمک یک رابطه اضافی بسته شوند. معمولا یک معادله برای نرخ اتلاف آشفتگی به‌عنوان رابطه اضافی استفاده می‌شود. مدل­‌های RST قادرند تا حد زیادی اثرات غیر محلی و اثرات مربوط به تاریخچه جریان را در نظر بگیرند. همچنین این مدل­‌ها قادرند اثرات انحنای خطوط جریان یا چرخش سیستم روی آشفتگی را در شبیه­‌سازی لحاظ کنند.

نزدیک­‌ترین مدل به RST مدل‌­های ARS (Algebraic Reynolds Stress) هستند. این مدل­‌ها در واقع ترکیبی از مدل­‌های سطح پایین‌­تر (از لحاظ دقت) و مدل RST هستند. در مدل­‌های ARS فقط دو معادله انتقال (بیش‌­تر برای انرژی جنبشی آشفتگی و نرخ اتلاف) استفاده می­‌شود. مؤلفه‌های تانسور تنش رینولدز به­‌وسیله معادلات جبری غیرخطی به کمیت­‌های انتقالی مرتبط می‌­شوند. مدل­‌های ARS قادر به پیش‌گویی جریان آشفته چرخشی و جریان­‌های ثانویه در کانال­‌ها با دقتی مشابه مدل­‌های RST هستند [۳].

به خاطر مشکل Stiffness در مدل RST و مشکل غیر خطی بودن در مدل ARS، در عمل مدل‌­های مربوط به دسته بستن درجه یک بیش­تر مورد استفاده قرار می­‌گیرند. در این مدل­‌ها، تنش­‌های رینولدز با استفاده از فقط یک کمیت عددی به نام لزجت ادی یا لزجت آشفتگی بیان می­‌شوند. این مدل­‌ها بر اساس فرض لزجت ادی بوزینس (Boussinesq) هستند. در این فرض مانند جریان آرام، رابطه­‌ای خطی بین تنش برشی آشفتگی و نرخ کرنش متوسط در نظر گرفته می­‌شود [۳]. به کمک این فرض برای لحاظ کردن اثرات آشفتگی در معادلات حاکم باید لزجت دینامیکی، μ، در معادلات حاکم با مجموع لزجت‌­های آرام و آشفته جایگزین ­شود:

لزجت آرام را می‌توان از رابطه­ ساترلند (Sutherland) محاسبه کرد. این رابطه برای هوا و در دستگاه SI به‌صورت زیر است:

که در آن T برحسب درجه کلوین است.

به‌طور مشابه بردار شار حرارتی آشفتگی به این صورت در نظر گرفته می­‌شود:

که در آن k_T ضریب هدایت حرارتی آشفته است. بنابراین علاوه بر ضریب لزجت لازم است که ضریب هدایت حرارتی نیز در معادلات حاکم به‌صورت زیر در نظر گرفته ­شود:

که در آن c_p ضریب گرمای ویژه در فشار ثابت و Pr عدد پرانتل (Prandtl) است. عدد پرانتل عموما ثابت در نظر گرفته می­‌شود (برای هوا Pr_L=0.72 و Pr_T=0.9). در نهایت ضریب لزجت آشفتگی، μ_T، باید با استفاده از یک مدل آشفتگی به دست آید تا معادلات RANS به‌طور کامل بسته شوند.

مدل­‌های دسته بستن درجه یک، بسته به تعداد معادله انتقالی که استفاده می‌­کنند، به مدل­‌های صفر، یک و چند معادله­‌ای تقسیم می­‌شوند. با استفاده از مدل‌­های صفر معادله‌­ای که به مدل­‌های جبری نیز مشهورند، لزجت آشفتگی به کمک روابط تجربی که فقط از متغیرهای متوسط محلی استفاده می­‌کنند، محاسبه می‌شود. بنابراین اثرات مربوط به تاریخچه جریان در این مدل­‌ها لحاظ نمی­‌شود و نمی­‌توانند جریان­‌های جداشده را به‌صورت صحیح مدل کنند. در عوض این مدل­‌ها از لحاظ هزینه و زمان محاسبات مقرون‌به‌صرفه هستند. از معروف‌­ترین مدل­‌های این دسته می‌­توان به مدل بالدوین-لمکس (Baldwin-Lomax) اشاره کرد که در کاربردهای متعددی قدرت خودش را نشان داده است.

تاثیرات تاریخچه جریان را می­‌توان با به کار بردن مدل­‌های یک یا دو معادله­‌ای در محاسبات لحاظ کرد. در این معادلات، جابه‌­جایی و پخش آشفتگی با استفاده از معادلات انتقال در نظر گرفته می­‌شود. از مدل­‌های یک معادله­‌ای معروف می­‌توان به مدل اسپالارت و آلماراس (Spalart and Allmaras Model) اشاره کرد. همه مدل‌­های دو معادله­‌ای یکی از معادلات انتقالی که استفاده می‌­کنند، معادله­ انتقال k، انرژی جنبشی آشفتگی، است. معروف‌­ترین مدل­‌های دو معادله‌­ای مدل­‌های k-ε و k-ω هستند.

مقایسه کانتور دما در مسئله تداخل موج ضربه‌ای (Shock Wave) با لایه مرزی بین RANS (شکل پایین) و LES (شکل‌های بالا و وسط)

مقایسه میدان جریان حول یک استوانه در حالت واقعی با RANS

مقایسه سطوح مختلف دقت برای رهیافت‌های برخورد با آشفتگی [3]

تاریخچه رهیافت RANS

اولین پژوهش‌­ها در زمینه رهیافت RANS همان­‌طور که عنوان شد، به تحقیقات رینولدز در سال ۱۸۹۵ در ارتباط با آشفتگی برمی­‌گردد. با این وجود اولین تلاش­‌ها برای ارائه یک شرح ریاضی از تنش‌­های رینولدز به تحقیقات بوزینس در سال ۱۸۷۷ برمی‌­گردد که مفهوم لزجت ادی را ارائه کرد.

با وجود تلاش‌­هایی که رینولدز و بوزینس در زمینه آشفتگی کردند، ولی آن­ها هیچ­گاه به‌صورت نظام‌­مند به حل معادلات RANS نپرداختند. بنابراین فیزیک آشفتگی همچنان مجهول مانده بود تا اینکه در سال ۱۹۰۴ پرانتل مفهوم لایه­ مرزی را ارائه کرد. با تمرکز روی آشفتگی پرانتل در سال ۱۹۲۵ مفهوم طول اختلاط (Mixing Length) و بر اساس آن رابطه‌­ای برای محاسبه لزجت ادی بر اساس این طول ارائه کرد. این رابطه اساس مدل­‌های بعدی آشفتگی قرار گرفت.

برای بهبود مدل طول اختلاط و برای واقعیت بخشیدن بیش‌­تر به آن، پرانتل در سال ۱۹۴۵ مدلی را پیشنهاد کرد که در آن لزجت ادی را وابسته به انرژی جنبشی نوسانات آشفتگی، k، می­‌دانست. در این مدل او با استفاده از یک معادله دیفرانسیل، معادله دقیق k را تقریب می‌­زد. با این کار در واقع لزجت آشفتگی وابسته به تاریخچه جریان می­‌شد. با ارائه این مدل خانواده مدل­‌های آشفتگی یک معادله­‌ای متولد شدند.

مدل آشفتگی کامل خواهد بود، اگر در آن برای به دست آوردن لزجت ادی نیازمند دانستن کمیتی که وابسته به آشفتگی جریان است، نباشیم. به‌عنوان مثال اگر برای رسیدن به لزجت ادی نیازمند دانستن اندازه ضخامت مومنتم لایه­ مرزی باشیم، مدل کامل نخواهد بود، زیرا خود ضخامت مومنتم وابسته به آشفتگی جریان است و مقدار دقیق آن در ابتدا معلوم نیست. کولموگروف (Kolmogrov) در سال ۱۹۴۲  اولین مدل آشفتگی کامل را معرفی کرد. کولموگروف علاوه بر استفاده از معادله‌­ای برای تقریب زدن k، پارامتر ω را به‌عنوان نرخ اتلاف انرژی بر واحد حجم و زمان معرفی کرد. در این مدل که معروف به مدل k-ω است، ω هم دارای معادله دیفرانسیلی شبیه به k است. با وجود این­که این مدل نوید پیشرفت قابل قبولی در آشفتگی را می­‌داد ولی به خاطر محدودیت رایانه‌­ها تا ربع قرن بعد از آن عملا استفاده نشد [۴].

با پیشرفت رایانه­‌ها در سال­‌های بعد مدل­‌های آشفتگی هم پیشرفت زیادی کردند. از جمله، مدل­‌های جبری توسعه پیدا کردند. ون درایست (Van Driest) در سال ۱۹۵۶ برای مدل طول اختلاط پرانتل، تصحیح میراکننده لزج را پیشنهاد کرد که تا به امروز در تمامی مدل­‌های جبری استفاده شده است. سبسی و اسمیت (Cebeci and Smith) در سال ۱۹۷۴ مدل طول اختلاط را تا حدی توسعه دادند که می‌توان از آن برای خیلی از جریان­‌های شامل لایه مرزی جدانشده استفاده کرد. برای حذف برخی مشکلات در تعریف مقیاس طولی آشفتگی که در مدل سبسی و اسمیت با استفاده از ضخامت لایه برشی انجام می‌­شد و خود از مجهولات حل بود، بالدوین و لمکس در سال ۱۹۷۸ گونه دیگری از مدل جبری را ارائه کردند که تا به امروز در مسائل زیادی مورد استفاده قرار گرفته است [۴].

جمع‌بندی و نتیجه‌گیری

برخورد صحیح با آشفتگی از مهم‌ترین اقدامات در هر شبیه‌سازی CFD است. در این مقاله بعد از معرفی مفهوم آشفتگی، رهیافت‌های مختلف برخورد با آشفتگی بیان شدند. با توجه به کاربرد وسیع رهیافت RANS، این رهیافت و تاریخچه آن به‌تفصیل بیان شد.

نظرات خود را در مورد این مقاله با ما در میان بگذارید.

منابع و مراجع